Zahl Pi XXL | MathePrisma

Geometrische Summe

Wir leiten zunächst eine Näherungsformel für die Funktion $\arctan$ , die Umkehrfunktion des Tangens, her. Für jede reelle Zahl $q\neq 1$ und jede natürliche Zahl $n$ gilt die Formel für die geometrische Summe

$\begin{equation*} 1+q+q^2+\cdots+q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q} . \end{equation*}$

Wir setzen $q=-t^2$ mit einer neuen Variablen $t$ und erhalten

$\begin{equation} \label{20} 1-t^2+t^4-+\cdots +(-1)^{n-1}t^{2n-2} = \frac{1-(-t^2)^n}{1+t^2} . \end{equation}$

(27)

Arctan

Sei jetzt $x$ eine beliebige positive reelle Zahl. Wir integrieren beide Seiten von (27) von $0$ bis $x$ und erhalten

$\begin{equation*} x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-+\cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} -\int_0^x (-1)^n \frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt . \end{equation*}$

Da $1/(1+t^2)$ die Stammfunktion $\arctan t$ hat, ist das erste Integral $\arctan x$ . Das zweite Integral werde mit $I_n(x)$ bezeichnet. Addiert man es auf beiden Seiten, so ergibt sich

$\begin{equation} \label{21} \arctan x = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-+\cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} + I_n(x) \end{equation}$

(28)

mit

$\begin{equation*} I_n(x) = \int_0^x (-1)^n \frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt . \end{equation*}$

Restglied

Um $I_n(x)$ abzuschätzen, wird der Betrag in das Integral gezogen:

$\begin{equation*} \big| I_n(x) \big| \le \int_0^x \frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt \end{equation*}$

Läßt man den Nenner des Integranden weg, so macht man ihn größer. Also ist weiter

$\begin{equation} \label{22} \big| I_n(x) \big| \le \int_0^x t^{2n}\,dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1} . \end{equation}$

(29)