Zahl Pi XXL | MathePrisma

Verbesserung

Eine noch bessere Formel, die ebenfalls mit dem Additionstheorem bewiesen werden kann, stammt von Machin [22]:

$\begin{equation*} \frac{\pi}{4} = 4\arctan\big(\frac{1}{5}\big) - \arctan\big(\frac{1}{239}\big) \end{equation*}$

Anwendung

Setzt man hier die Gregory-Formel ein, so ergibt sich

$\begin{align} \frac{\pi}{4} &= \nonumber\\ & \frac{4}{5}-\frac{4}{3\cdot5^3}+\frac{4}{5\cdot5^5}- \frac{4}{7\cdot5^7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{4}{(2n-1)\cdot5^{2n-1}} \nonumber\\ & - \Big( \frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot239^3}+\frac{1}{5\cdot239^5}- \frac{1}{7\cdot239^7}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)\cdot239^{2n-1}} \Big) \nonumber\\ & +R_n \label{50} \end{align}$

(31)

mit

$\begin{equation*} R_n = 4I_n\big(\frac{1}{5}\big)-I_n\big(\frac{1}{239}\big) . \end{equation*}$

Genauigkeit

Für diesen Fehler gilt die Abschätzung

$\begin{equation} \label{51} \big|R_n\big| \le \frac{4}{2n+1}\big(\frac{1}{5}\big)^{2n+1} + \frac{1}{2n+1}\big(\frac{1}{239}\big)^{2n+1} . \end{equation}$

(32)

Vergleich

Aufgrund der Potenzen in dieser Abschätzung ist die Gregory-Machin-Formel wesentlich besser zur Approximation von $\pi$ geeignet als die Gregory-Formel allein. Die Fehler-Abschätzung (32) ist sogar besser als bei der Methode von Archimedes (26). Die Formel (31) hat gegenüber der Archimedes-Methode den Vorteil, daß keine Quadratwurzeln berechnet werden müssen.