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Parkettierungen

Parkettierungen

Drei Systeme zur Klassifizierung

Ansichtssache

Es findet nun ein Wechsel der Sichtweise statt. Zunächst haben wir uns dafür interessiert, welche Symmetrie-Eigenschaften eine einzelne Kachel einer Parkettierung besitzt (Kapitel Symmetrien). Im Kapitel Systematik werden wir die Symmetrien der Parkettierung im Ganzen analysieren.

Das Trio

Zur Klassifizierung von Flächenornamenten gibt es drei gängige Systeme, die unterschiedlichen Denkmodellen folgen.

  • Da gibt es zunächst die Sichtweise des Künstlers oder des Ingenieurs, der Parkettierungen herstellt. Im Jahr 1963 stellten Heinrich Heesch und Otto Kienzle in ihrem Buch Flächenschluß dar, dass es für die Herstellung passender Kachelformen genau 28 Systemvarianten gibt. Diese Klassen finden sich bis auf zwei Ausnahmen in Eschers Parketten wieder, der 26 unterschiedliche Typen realisiert und einen weiteren ihm bekannten Typ aus künstlerischen Gründen ausgeschlossen hat. Der abgelehnte Kacheltyp (Bild links) ist zweiseitig symmetrisch und erschien ihm daher als zu alltäglich und einfach.

  • Der Standpunkt des Mathematikers, der sich für die Topologie interessiert, wird durch die Sicht auf die Netze der Parkette vertreten. Dabei zeichnet man das Netz des Parketts mit Ecken und Kanten und zählt die Anzahl der Motive, die sich in den Eckpunkten begegnen. Als Eckpunkte gelten die Orte, an denen sich mindestens drei Parkettsteine berühren. Der Umlauf um ein Motiv bringt die Basiszelle des Netzes hervor.

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    In der Grafik sieht man die Ermittlung der zugehörigen Netzklasse, die als (3,3,4,3,4) benannt wird.

    Die Untersuchung der Netze beliebiger Flächenornamente bringt genau 11 unterschiedliche Parkettklassen zutage. Wer diesen Ansatz weiter verfolgen möchte, findet eine Liste aller Netze und Erklärungen auf der Internet-Seite

    www.mathe.tu-freiberg.de/\~hebisch/cafe/mce/flaechenauf.html.

  • Bei dem im Modul verfolgten dritten Standpunkt sucht man dagegen nach Symmetrieoperationen, die das gesamte Parkett bei ihrer Anwendung gleich aussehen lassen. Dabei findet man ein System von genau 17 Ornamentgruppen das Anwendung u.a. bei der Untersuchung von Kristallstrukturen gefunden hat. Die Entscheidung für dieses System ist nicht zuletzt dadurch bedingt, dass es sich hierbei um die bekannteste Klassifizierung von Flächenornamenten handelt.

Ein Vergleich

Bei 28 Kachelklassen und nur 17 Ornamentgruppen ist es klar, dass aus einigen Kachelvarianten Ornamente der gleichen Ornamentgruppe entstehen müssen. Die Unterscheidung in 28 Kachelklassen ist aber auch höchst berechtigt, denn die unterschiedlichen Kacheltypen verursachen durchaus unterschiedliche optische Wirkungen!