Primzahlgeheimnisse | MathePrisma

Frage 1

Was ist los, wenn der Exponent keine Zweierpotenz ist?

Ist k keine Zweierpotenz, dann gibt es eine ungerade Zahl u>1, so dass sich k schreiben lässt als k=u $\cdot$ v.
Dann können wir die folgende Aussage nutzen:

Ist u eine ungerade Zahl, dann ist

$2^{u v }+ 1$

durch $2^{v} + 1$ teilbar.

(Beweis)

Alle Zahlen der Form $2^{u v }+ 1$ sind also zusammengesetzt, da sie durch $2^{v} + 1$ teilbar sind, wobei $1<\;2^{v}+1\;<\;2^{u v }+ 1$ gilt.

Verstanden?

Antwort 1

Alle Zahlen der Form $2^{k} + 1$ sind keine Primzahlen, wenn k keine Potenz von 2 ist.

Also gilt:

Notwendige Bedingung

Eine Zahl der Form $2^{k} + 1$ kann nur dann eine Primzahl sein,
wenn k eine Potenz von 2 ist.

Frage 2

Gibt es eine Zahl der Form $2^{(2^{k})} + 1$ , die keine Primzahl ist?

Antwort 2

Fermat hat gezeigt, dass $2^{32} + 1$ keine Primzahl ist, obwohl $32\;=\;2^{5}$ eine Zweierpotenz ist.
In Fermats Beweis sieht man, dass diese Zahl durch 641 teilbar ist.

Fermatsche Primzahlen

Außer den oben angegebenen fünf fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65537 hat man keine weiteren gefunden. Man vermutet, dass es keine weiteren gibt, kann das aber bis heute nicht beweisen.

Woher hat Fermat (ohne Taschenrechner) gewusst, dass 65537 eine Primzahl ist?
(Fermats Überlegungen)

151	152	153	1998	1999	2000

154	156	157	2001	2002	2003

a)	Vervollständige die Zahlenschlange bis 50.



b)	Auf welcher Geraden liegen die Primzahlen?
c)	Welchen Teiler haben die Zahlen auf den anderen Geraden jeweils gemeinsam?

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

51	52	53	54	55	56	57	58	59	60

61	62	63	64	65	66	67	68	69	70

71	72	73	74	75	76	77	78	79	80

81	82	83	84	85	86	87	88	89	90

91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

101	102	103	104	105	106	107	108	109	110

111	112	113	114	115	116	117	118	119	120

121	122	123	124	125	126	127	128	129	130

a)	Finde für die Zahl 20 alle möglichen Summendarstellungen mit zwei Primzahlen.
b)	Finde für die Zahl 20 alle möglichen Summendarstellungen mit beliebig vielen Primzahlen.
c)	Finde für die Zahlen 25 und 27 jeweils eine Summendarstellung mit möglichst wenig Primzahlen.
d)	Vorausgesetzt die Goldbachsche Vermutung gilt, wieviel Primzahlen benötigt man dann maximal für die Darstellung von ungeraden Zahlen als Summe von Primzahlen?