Prüfziffernverfahren

Sicherheit des ISBN-10-Codes

Du weißt jetzt, wie der ISBN-10-Code funktioniert. Aber ist er auch sicher gegenüber häufigen Eingabefehlern?

Der folgende Text liefert die begründete Antwort, für den beispielhaften Fall, dass an der ersten Stelle eine falsche Ziffer eingegeben wird. Die Argumentation ließe sich aber auf beliebige Stellen übertragen.

Einzelfehler

Vervollständige den Text.

Die ISBN habe die Form $a_{10}a_{9}a_{8}a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}p$ . Die gewichtete $10\cdot a_{10}+9\cdot a_{9}+8\cdot a_{8}+7\cdot a_{7}+6\cdot a_{6}+5\cdot a_{5}+4\cdot a_{4}+3\cdot a_{3}+2\cdot a_{2}+p$ ist durch teilbar.
Angenommen, an der Stelle werde anstelle von $a_{10}$ die falsche Ziffer $a'_{10}$ eingegeben. Der Unterschied sei $d\neq 0$ .
Der Fehler fällt auf, wenn die gewichtete Quersumme der 'falschen' Ziffernfolge
- nicht durch 11 teilbar ist.
- durch 11 teilbar ist.
Diese ist $\cdot a'_{10}+9\cdot a_{9}+8\cdot a_{8}+7\cdot a_{7}+6\cdot a_{6}+$ $\cdot a_{5}+4\cdot a_{4}+3\cdot a_{3}+2\cdot a_{2}+ p$ .
Sie unterscheidet sich um $10\cdot a_{10}-10\cdot a'_{10}=10\cdot (a_{10}-a'_{10})$ von der richtigen Quersumme und ist nur dann durch 11 teilbar, wenn $10\cdot (a_{10}-a'_{10})$ ein Vielfaches von ist.
Da $a_{10}$ bzw. $a'_{10}$ Werte zwischen 0 und haben, gilt $-9\leq a_{10}-a'_{10}\leq 9$ .
Also kann $10\cdot (a_{10}-a'_{10})$ nicht durch 11 teilbar sein; der fällt auf!

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Drehfehler

Sehr gut, wenn du den Drehfehler gefunden hast! Bei der ISBN-10 werden alle Drehfehler aufgedeckt, auch wenn die beiden vertauschten Ziffern nicht benachbart sind!

Vertauschung