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Quadratzahlen

Quadratzahlen

Geometrie

Der Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Bezeichnet man die Hypotenuse mit c und die Katheten mit a bzw. b, so schreibt man das berühmte

\[ c^2 = a^2 + b^2 . \]

Der Vollständigkeit halber:
die Skizze und das Denkmal


Pythagoras

 

Für die Ungläubigen

Wer den Satz des Pythagoras immer noch nicht glaubt,
hier ein Beweis, der vielleicht nicht in jedem Schulbuch steht.


Film ab!


Beweisidee

Alles klar?

Das war aber noch nicht alles!

Jetzt geht's weiter

Für Quadrate wusste das ja jeder, aber gilt das auch für Halbkreise?

    Ja! Ist der Flächeninhalt eines Halbkreises bekannt,
braucht man
\(c^2 = a^2 + b^2\) nur mit \(\frac{\pi}{8}\) zu erweitern.

Übrigens, hier sieht man nicht den
Mond von Wanne-Eickel,
aber die Möndchen des Hippokrates!

Oder für gleichseitige Dreiecke?

    Na klar! Kennt man den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks,
so braucht man
\(c^2 = a^2 + b^2\) nur mit \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) zu erweitern.

Merke:

Das Theorem gilt also für alle ähnlichen Figuren mit den entsprechenden Seiten am Dreieck!

Jetzt aber ran!

Gilt der Satz des Pythagoras auch für folgende Figuren?

Rechtecke

    Rechtecke mit doppelt so langer Seitenlänge wie Stirnseite?

Ja oder Nein?

(nur geraten?)



    Rechtecke mit gleicher aber beliebig langer Seitenlänge?

Ja oder Nein?

(nur geraten?)

Noch so ein antiker Schlauberger!

Pappus von Alexandria hat eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras gefunden.

Einen hab' ich noch!

Weil es so schön ist: "Spiel's noch einmal, Hermann".