Rekursive Folgen
"Mach' nur den Anfang - die Vorschrift gibt Dir den Rest."
Autor(en): Gerrit Klein, Stefanie Krivsky - Februar 2001
Kapitelübersicht
Simulation einer Bewerbungsprüfung
Anschauung, Definitionen, Training
"`Die Türme von Hanoi"' Hochstapelei als rekursive Folge
Ausgerechnet in der Natur zählt man auf Fibonacci
Arbeitsblatt
Aufgabe 1
Betrachte die vorliegende Bildfolge:
a) Gib eine rekursive Darstellung für die Anzahl der inneren Dreiecke an.
b) Finde eine explizite Darstellung.
c) Berechne das 6. und 9. Folgenglied rekursiv.
d) Berechne das 15. Folgenglied explizit.
Aufgabe 2
Betrachte die arithmetische Folge M(n)=M(n-1)+d mit M(1)=8 und M(10)=71.
a) Wie lautet die ersten sieben Folgenglieder?
b) Finde die rekursive und explizite Darstellung.
c) Berechne das 50. Folgenglied.
Aufgabe 3
Betrachte die folgende Abbildung.
a) Wie groß ist die Fläche des nächsten Quadrates?
b) Welchen Radius hat der übernächste Viertelkreis der Spirale?
c) Wie groß sind die Seiten des 10. Quadrates?
Aufgabe 4
Beweise per vollständiger Induktion, dass die geometrische Folge
M(1)=1 M(n)=M(n-1)·d
die explizite Darstellung M(n)=d
besitzt.
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Inhalt
Es werden verschiedene rekursive Folgen betrachtet und mit dem "Dominoprinzip" erklärt. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um
arithmetische und geometrische Folgen
periodische Folgen
die Folge der Quadratzahlen
Türme von Hanoi
Fibonacci-Zahlen
Die Folgen sollen erkannt und Folgeglieder berechnet werden.
Zusammenhänge zwischen expliziter und impliziter Darstellung werden mit vollständiger Induktion bewiesen, die dazu eingeführt wird.
Glossar
der natürlichen Zahlen in eine Menge W. Enthält die Menge W nur Zahlen, so spricht man von einer Zahlenfolge.
