Schwebebahn | MathePrisma

Diese Seite erläutert die Berechnung der Schnittpunkte zweier Kreise.

Verschiebe die gelben Punkte.

Erklärung

Gegeben sind zwei Kreise, ihre Mittelpunkte und ihre Kreisgleichungen. Um die Schnittpunkte dieser beiden Kreise zu berechnen, solltest du zuerst bei beiden Kreisgleichungen die Klammern auflösen und Variablen sortieren. Danach kannst du verschiedene Lösungsverfahren benutzen, um mit der Rechnung fort zu fahren: das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren, das Einsetzungs- sowie das Gleichsetzungsverfahren. Ein Beispiel macht es deutlicher:

$\displaystyle k_1:(x-2)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{225}{4}$
$\displaystyle k_2:(x-12)^2+(y-9)^2=100$

$\displaystyle k_1:x^2-4x+y^2-3y=50$
$\displaystyle k_2:x^2-24x+y^2-18y=-125$

Hier bietet es sich nun an, das Subtraktionsverfahren zu benutzen, damit sich $x^2$ und $y^2$ aufheben. Es ist egal, ob du $k_1$ von $k_2$ oder $k_2$ von $k_1$ abziehst. Wir wollen hier $k_1 - k_2$ berechnen:

$\displaystyle k_1-k_2:20x+15y=175\Leftrightarrow x=-0,75y+8,75$

Weiter musst du nun x in eine der beiden Gleichungen, zum Beispiel $k_1$ , einsetzen und diese anschließend auf Normalform bringen:

$\displaystyle (-0,75y+8,75)^2-4(-0,75y+8,75)+y^2-3y=50$
$\displaystyle 0,5625y^2-13,125y+76,5625+3y-35+y^2-3y=50$
$\displaystyle 1,5625y^2-13,125y-8,43745=0$
$\displaystyle y^2-8,4y-5,4=0$

Als letztes kannst du nun noch mit Hilfe der pq-Formel die beiden Lösungen von y berechnen. Dies liefert die y-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.

pq-Formel: $\displaystyle \frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
$y_1, y_2=\frac{-8,4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-8,4}{2}\right)^2+5,4}$
$\displaystyle y_1=9$
$\displaystyle y_2=-0,6$

Um nun auch die x-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten, musst du die beiden y-Werte in die Formel für x einsetzen:

$\displaystyle x=-0,75y+8,75$
$\displaystyle x_1=-0,75\cdot 9+8,75=2$
$\displaystyle x_2=-0,75\cdot (-0.6)+8,75=9,2$

Jetzt kannst du genau sagen, dass die beiden Kreise sich in den Punkten S1(2|9) und S2(9,2|-0,6) schneiden.

Merksatz

Vorgehen zur Schnittpunktberechnung

Löse die quadratischen Terme auf.
Eliminiere durch Subtraktion die Terme mit $x^2$ und $y^2$ .
Löse die entstehende Gleichung nach x auf.
Setze diesen Wert für x in eine Kreisgleichung ein.
Löse die entstehende quadratische Gleichung nach y auf.
Berechne mit Hilfe der Gleichung x = ... die noch fehlenden x-Koordinaten der Schnittpunkte.