Harmonische Schwingung

Wegen des Superpositionsprinzips stellt sich folgende Frage:

Können wir ausgezeichnete Funktionen so finden, dass man jede Lösung als eine Linearkombination der ausgezeichneten Funktionen darstellen kann?

Fundamentalsystem

Man spricht dann von einem Fundamentalsystem. Es gibt uns die vollständige Übersicht über alle Lösungen der Differentialgleichung.

Im vorliegenden Fall kann man zeigen (was wir uns hier sparen):

gilt für die harmonische Schwingung

Fundamentalsysteme bestehen aus zwei Funktionen $y_1(t),\, y_2(t)$ .
Jede Lösung $y(t)$ ist dann durch die beiden Parameter $\alpha_1,\, \alpha_2$ in

$y(t) = \alpha_1 y_1(t) + \alpha_2 y_2(t)$

festgelegt.

Differentialgleichung und Anfangswertproblem

Von der mathematischen Aufgabenstellung her unterscheiden wir zwischen

Bestimmung eines Fundamentalsystems $y_1(t),\, y_2(t)$ von

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

Alle Lösungen ergeben sich als Linearkombinationen .

und

Lösen des Anfangswertproblems

$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

$y(0) = a, \; y^{\prime}(0) = b$

Die Parameter $\alpha_1,\, \alpha_2$ müssen also so bestimmt werden, dass die Anfangsbedingungen $y(0) = a, \; y^{\prime}(0) = b$ erfüllt werden.

zurück zum Pendel

Dies ist auch physikalisch nachvollziehbar:

Kennt man das Fundamentalsystem, so ist im Federpendel, z.B. die Bewegung durch zwei Parameter eindeutig festgelegt, etwa durch "Position zum Zeitpunkt 0" und "Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0", also durch die Anfangsbedingungen. Auf den nächsten Seiten rechnen wir Fundamentalsysteme endlich aus. Dabei lösen wir auch Anfangswertprobleme, und zwar mit den Anfangsbedingungen

$y(0) = 1, \; y^{\prime}(0) = 0$

Sie entsprechen den Anfangsbedingungen der in den Applets beobachteten Bewegungen des Federpendels:

das Pendel wird aus der Ruhelage ausgelenkt,
also $y(0) = 1$ ,
und dann losgelassen, ohne extra 'Schwung zu geben',
also $y^{\prime}(0) = 0$ .