Harmonische Schwingung

Bezeichungen

Die Bewegungsgleichung mit

$t$		Zeit
$y(t)$		Auslenkung des Pendels
$y^{\prime}(t)$		Geschwindigkeit des Pendels
$y^{\prime \prime}(t)$		Beschleunigung des Pendels

ergibt sich aus der Kräftebilanz:

Bewegungsgleichung des Federpendels

Bewege die Maus über die Terme der Formel.

Wir wollen die Bewegungsgleichung in zwei Schritten auf eine Standardform transformieren. Dazu bestimmen wir zuerst die Ruhelage.

Bestimmung der Ruhelage

In der Ruhelage ist $y^{\prime} = 0$ wie auch $y^{\prime\prime} = 0$ .
Aus der Bewegungsgleichung ergibt sich für die Koordinate $y_0$ der Ruhelage also $0 = -c \cdot y_0 - r \cdot 0 + m \cdot g$ mithin $y_o = \frac{m \cdot g}{c}$

erste Transformation

Wir erhalten eine etwas einfachere Bewegungsgleichung, wenn wir den Ursprung des Koordinatensystems in die Ruhelage verschieben.

die verschobenen Koordinaten sind blau

Ab jetzt notieren wir die verschobenen Koordinaten statt in blau wieder in schwarz.

zweite Transformation

Mit den traditionellen Bezeichnungen

$\omega^2 = \frac{c}{m}$ und $k = \frac{r}{m}$

ergibt sich nach Division durch $m$ die

Standardform der Bewegungsgleichung für die harmonische Schwingung
$y^{\prime\prime} + k \cdot y^{\prime} + \omega^2 \cdot y = 0$

Wir suchen $y(t)$

Die Bewegungsgleichung ist eine Differentialgleichung, bei der die Funktion $y(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gesucht ist.

die anderen Beispiele

Auch die Bewegung der Moleküle in der schwingenden Luftsäule und (in erster Näherung) die Bewegung des Fadenpendels werden durch dieselbe Differentialgleichung beschrieben. Die Parameter $k$ und $\omega^2$ haben dann natürlich eine andere Bedeutung.

wichtige Frage

Wie beeinflussen die Parameter $k$ und $\omega^2$ die Bewegung?
Dies untersuchen wir nun in Experiment und Theorie.