Diskrete Verteilung | MathePrisma

Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$

Die Informatiker fragen daraufhin etwas ungeduldig:

"Und wie berechnen wir nun damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er 0, 1, 2,..., 1000-mal einen Bekannten anruft?"

Emmy N. erklärt:

	"Die Binomialverteilung mit einem großen n und einem kleinen p (Faustregel: $n \cdot p < 10$ und $n > 1500 \cdot p$ ) unterscheidet sich nur wenig von einer Poissonverteilung mit dem Parameter $\lambda = n \cdot p$ .
	Bei unserem Problem haben wir n=1000 und p=0.01 und damit einen Parameter $\lambda = 1000 \cdot 0.01 = 10$ . So ergibt sich z.B. die Wahrscheinlichkeit für "Null" Treffer (k=0), also dafür, dass er kein Mal einen Bekannten anruft, zu:

$\displaystyle e^{-10} \cdot \frac{10^0}{0!} \approx 0.0000454$

Lösung

Emmy N. hat den zwei Informatikern keine Begründung für die obige Formel gegeben. Daher wollen sie sich mit ihrem Taschencomputer davon überzeugen, dass die Formel die Simulation recht gut beschreibt.

mit Poisson'scher Formel berechnet (n=1000, p=0.01, $\lambda$ =1000 $\cdot$ 0.01=10)

Simulation

Überzeuge auch du dich davon, dass die Formel die simulierte Verteilung der Gesamtanzahl der Treffer recht gut beschreibt, indem du ebenfalls den Taschencomputer benutzt.

Der Knopf "Emmys Berechnung" zeigt dir, wie die Verteilung der Treffer nach der Poissonschen Formel aussieht.
Der Knopf "Vergleich 1" vergleicht die mit wenigen (50) Simulationsdurchgängen gewonnene "empirische" (also die sich im Computerexperiment ergebende) Verteilung (grüne Balken) mit der theoretisch durch die Poisson-Formel berechneten (schwarze Umrandung).
"Vergleich 2" führt diesen Vergleich für viele (300) Simulationsläufe durch.

Du kannst dann sehen: Je mehr Simulationsläufe, desto besser ist meist die Übereinstimmung.

Wenn du "Vergleich 1" oder "Vergleich 2" drückst, kann es eine Weile dauern, bis sich das Bild aufbaut.

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?