Diskrete Verteilung | MathePrisma

Begriffserklärung

Bernoulli-Versuch (Bernoulli-Experiment)

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Versuchsausgängen:

"0" (bzw."Misserfolg", dieser Begriff passt aber nicht immer gut)
und "1" (bzw. "Erfolg").
Versuchsausgang "1" geschieht mit Wahrscheinlichkeit p
Versuchsausgang "0" entsprechend mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

Ist bei mehreren nacheinander durchgeführten Bernoulli-Versuchen die Wahrscheinlichkeit bei den einzelnen Versuchen gleich, d.h. beeinflusst ein Bernoulli-Versuch nicht die Wahrscheinlichkeit des nachfolgenden Ergebnis, dann heißen diese voneinander unabhängige Bernoulli-Versuche .

Beispiele

J.W. steht an einer Häuserecke und torkelt entweder nach links oder nach rechts.

Ein Versuchausgang ist also "J.W. torkelt nach rechts" (="1", "Erfolg" passt hier nicht so gut) mit Wahrscheinlichkeit p,
ein anderer "J.W. torkelt nach links" (="0") mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

Da er an der nächsten Ecke ebenfalls

mit einer Wahrscheinlichkeit p nach rechts
und mit Wahrscheinlichkeit 1-p nach links

torkelt, egal wie er vorher getorkelt ist, sind diese Bernoulli-Versuche unabhängig.

In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose, davon 90 Nieten und 10 Gewinne. Du ziehst ein Mal.
Dann gibt es die Versuchausgänge
"Gewinn" (="1" oder "Erfolg", hier passt der Begriff) mit Wahrscheinlichkeit p=10/100=1/10=0.1
und "Niete (="0" oder "Misserfolg") mit Wahrscheinlichkeit 1-p=1-0.1=0.9.
Ziehe ein zweites Mal, dann ist die Wahrscheinlichkeit

"Gewinn"
falls du bereits beim ersten Zug "Gewinn" hattest p=9/99=1/11
falls du bereits beim ersten Zug "Niete" hattest 1-p=1-(1/11)=10/11.
"Niete"
falls du bereits beim ersten Zug "Gewinn" hattest p=10/99
falls du bereits beim ersten Zug "Niete" hattest 1-p=1-(10/99)=89/99.
Der erste Zug beeinflusst also den zweiten Zug, es handelt sich also um voneinander abhängige Bernoulli-Versuche.

a)	Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass du erst in der vierten Nacht die erste Sternschnuppe siehst?
b)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Nächten höchstens zwei vergehen, ohne dass du eine Sternschnuppe siehst?

	k	Anzahl
	0	109
	1	65
	2	22
	3	3
	4	1
	mehr als 4	0

a)	Berechne die relativen Häufigkeiten für 0, 1, 2, 3, 4 und "mehr als 4"!
b)	Welche Verteilung würdest du nehmen, um die Wahrscheinlichkeiten für k Verunglückte pro Jahr und Regiment zu berechnen? Warum?
c)	Die gesuchte Verteilung hat nur einen einzigen Parameter. Schätze diesen Parameter, indem du die mittlere Anzahl von Toten pro Jahr und Regiment berechnest! Begründung: im Modul steht, dass der Parameter der gesuchten Verteilung der Erwartungswert dieser Verteilung ist.
d)	Berechne nun die "theoretischen" Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der gesuchten Verteilung und vergleiche diese mit den unter a) berechneten relativen Häufigkeiten. Gibt die Verteilung die empirischen (d.h. beobachteten) Daten gut wieder?