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Diskrete Verteilung

Diskrete Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Stell dir vor, in einer Urne befinden sich insgesamt 100 Kugeln,

  • davon sind 60 blau
  • und 40 grün.
Nun zieh zehn Kugeln mit Zurücklegen aus der Urne.

Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du genau k -mal eine blaue Kugel gezogen hast?

Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du bei zehnmaligem Ziehen genau vier blaue Kugeln gezogen hast?
Bitte gib das Ergebnis als Dezimalzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet an!

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist: 

Du musst hier die schon bekannte Binomialverteilung anwenden.

Jeder Zug aus der Urne wird als Bernoulli-Versuch mit den beiden möglichen Versuchsausgängen

  • "blau" (="Erfolg", weil wir uns für die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln interessieren)
  • und "grün" (="Misserfolg")
betrachtet.

Da du die Kugeln wieder in die Urne zurücklegst, sind die einzelnen Bernoulli-Experimente voneinander unabhängig . Das bedeutet, dass das Ergebnis eines vorher gehenden Zuges das Ergebnis des aktuellen Zuges nicht beeinflusst.

Ob du in einem vorher gehenden Zug "grün" oder "blau" ziehst ändert die Chancen für "grün" (also 40/100 = 2/5 ) und "blau" (60/100 = 3/5) im darauf folgenden Zug nicht.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für genau vier blaue Kugeln bei zehnmaligem Ziehen berechnet man demnach so:

Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei Binomialverteilung mit Parametern n und p:

\(\begin{pmatrix}10\\ 4 \end{pmatrix} (3/5)^4 \cdot (1 - 3/5)^{(10-4)} \approx 0.1114767 \approx 0.11\)

\(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k \cdot (1-p)^{n-k}\)

Bis jetzt gibt es also - trotz der neuen Kapitelüberschrift - nichts wirklich Neues. Das ändert sich aber auf der nächsten Seite...