Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel

Am Fachbereich Mathematik einer Universität werden verschiedene Mathematik- und Informatikstudiengänge angeboten. Einmal im Jahr werden die statistischen Daten, insbesondere die Durchfallquoten in den Vordiplomsprüfungen und die Teilnehmerzahl jeder einzelnen Prüfung veröffentlicht:

	Mathematik	Wirtschaftsmathematik	Informatik	Angewandte Informatik
Durchfallquote	41%	23%	37%	31%
Teilnehmerzahl	102	30	55	43

Eine große deutsche Zeitschrift möchte in ihrem aktuellen Hochschulranking die Durchfallquote im gesamten Fachbereich angeben. Präziser ausgedrückt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein beliebiger Studierender, der an einer Vordiplomsprüfung teilgenommen hat, nicht bestanden?

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit liefert die Antwort.

Wir betrachten folgende Ereignisse:

`D`	:=	Der Studierende ist durchgefallen.
`M`	:=	Der Studierende hat an der Mathematik-Prüfung teilgenommen.
`W`	:=	Der Studierende hat an der Wirtschaftsmathematik-Prüfung teilgenommen.
`I`	:=	Der Studierende hat an der Prüfung für den herkömmlichen Informatik-Studiengang teilgenommen.
`A`	:=	Der Studierende hat an der Prüfung für den Studiengang Angewandte Informatik teilgenommen.

Nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt dann:

$\begin{array}{lll} P(D) & = & P(M) \cdot P(D\; | \; M)\\ & + & P(W) \cdot P(D\; | \; W)\\ & + & P(I) \cdot P(D\; | \; I)\\ & + & P(A) \cdot P(D\; | \; A)\\ \end{array}$

$P(M)$	:	$P(D \; \| \; M)$	:
$P(W)$	:	$P(D \; \| \; W)$	:
$P(I)$	:	$P(D \; \| \; I)$	:
$P(A)$	:	$P(D \; \| \; A)$	:

a)	krumme Beine hat,
b)	zu dick ist,
c)	krumme Beine hat und nicht zu dick ist?

a)	Wie hoch ist insgesamt die Durchfallquote?
b)	Aus den Teilnehmern an dem Test wird eine Person zufällig ausgewählt, von der bekannt ist, dass sie durchgefallen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie von der ersten, zweiten bzw. dritten Schule?

Mathematik:
Informatik: