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Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Einleitung

Simulation

Probiere nun selbst aus, welche Strategie erfolgreicher ist. Du kannst selbst als Kandidat dein Glück versuchen oder eine Simulation starten, um die Entwicklung der Gewinnquoten für eine große Anzahl von Spielen zu beobachten. Die Bedienung ist in der Spielanleitung erklärt.


Wer wechselt, gewinnt !

Nach einigen Selbstversuchen und Simulationsschritten ist dir sicher aufgefallen, dass Kandidaten, die die Möglichkeit zum Wechsel nutzen, deutlich höhere Gewinnquoten erzielen als diejenigen, die an ihrer ersten Wahl festhalten. Tatsächlich beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit:

  • 1/3 bei Beibehalten der Tür
  • 2/3 bei Wechsel der Tür

Natürlich bestätigt der Versuch, dass diese Zahlen stimmen. Um ihre Korrektheit zu beweisen, brauchen wir die "bedingte Wahrscheinlichkeit":

Definition:
Bedingte Wahrscheinlichkeit

\(\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

heißt bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\) unter der Bedingung \(B\).

Sie liefert uns die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\), wenn wir wissen (oder annehmen), dass das Ereignis \(B\) bereits eingetreten ist (oder eintreten wird).
Dabei muss \(P(B)\) einen Wert ungleich 0 haben, \(B\) darf also nicht das unmögliche Ereignis sein.

Beispiel

Die Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichkeit lässt sich zum Beispiel durch einen Urnenversuch darstellen. In der Urne seien drei unterscheidbare Kugeln, hier in den Farben rot, grün und blau.

Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit dafür, durch zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen (ohne Beachtung der Reihenfolge) die rote Kugel zu erhalten.


    Diese beträgt über den gesamten Versuch betrachtet 2/3.     \(P(r \cap g)=1/3\)
\(P(r \cap b)=1/3\)
\(P(g \cap b)=1/3\)    


Zum Vergleich wollen wir die Wahrscheinlichkeit nun über die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

  • Das Ereignis "beim Ziehen rot, grün bzw. blau zu erhalten", bezeichnen wir als r, g bzw. b.
  • Das Ereignis "bei zweimaligem Ziehen ohne Zurücklegen rot zu erhalten", bezeichnen wir als R.
Ausgangssituation
Als erstes wurde Rot gezogen.
Als erstes wurde Grün gezogen.
Als erstes wurde Blau gezogen.
Wir gehen davon aus, dass wir aber bereits die Farbe der ersten Kugel kennen, dann sind folgende Fälle möglich:
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Wir gehen davon aus, dass wir aber bereits die Farbe der ersten Kugel kennen, dann sind folgende Fälle möglich:
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Wir gehen davon aus, dass wir aber bereits die Farbe der ersten Kugel kennen, dann sind folgende Fälle möglich:
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Wir gehen davon aus, dass wir aber bereits die Farbe der ersten Kugel kennen, dann sind folgende Fälle möglich:
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